室内の境界の形態係数および放射熱伝達率¶

1 はじめに¶

本節では、微小球に対する境界の重み係数及び室に接する境界の放射熱伝達率の計算方法を記す。途中、微小球から境界への形態係数を求めるが、その方法に、従来使われている面積割合を形態係数とみなす方法（面積割合を用いる方法）とこの方法を改良して自己形態係数が 0 になるようにした方法（永田の方法）の2種類採用している。

本節の計算は、次の値を必要とする。

室 \(i\) と境界 \(j\) の関係

境界 \(j\) の面積 \(A_{s,j}\)

境界 \(j\) の室内側放射熱伝達率 \(h_{s,r,j}\) (室 \(i\) の微小球に対する境界 \(j\) の重み係数を求める場合)

境界 \(j\) の長波長放射率 \(\epsilon_{r,i,j}\)

微小球から境界への形態係数を求める方法の種類

本節で示す計算の結果、次の値が得られる。

室 \(i\) の微小球に対する境界 \(j\) の重み係数 \(f_{mrt,i,j}\)

室 \(i\) に接する境界 \(j\) の放射熱伝達率 \(h_{s,r,j}|_{j \in \pmb{J}_i}\)

2 記号及び添え字¶

2.1 記号¶

この計算で用いる記号及び単位を次に示す。

表1 記号及び単位¶
記号	意味	単位
\(f_{mrt,i,j}\)	室 \(i\) の微小球に対する境界 \(j\) の重み係数	－
\(h_{s,r,j}\)	境界 \(j\) の室内側放射熱伝達率	W / m² K
\(A_{s,j}\)	境界 \(j\) の面積	m²
\(\epsilon_{r,i,j}\)	境界 \(j\) の室内側長波長放射率	－
\(\sigma\)	ステファン・ボルツマン定数	W / m² K⁴
\(\theta_{mrt}\)	平均放射温度	℃
\(f_j\)	境界 \(j\) が接する室の微小球から境界 \(j\) への形態係数	－
\(\bar{f_i}\)	非線形方程式 \(L(\bar{f_i})=0\) の解	－
\(r_{a,j}\)	境界 \(j\) の面積が境界 \(j\) が接する室におけるすべての境界の面積の総和に占める比	－

2.2 添え字¶

この計算で用いる添え字を次に示す。

表2 添え字¶
添え字	意味
\(i\)	室
\(j\)	境界

3 微小球に対する境界の重み係数¶

室 \(i\) の微小球に対する境界 \(j\) の重み係数 \(f_{mrt,i,j}\) は、次式で表される。

\begin{align*} f_{mrt,i,j} = \frac{ h_{s,r,j} \cdot A_{s,j} }{ \sum\limits_{j \in \pmb{J}_i } ( h_{s,r,j} \cdot A_{s,j} ) } \tag{1} \end{align*}

ここで、 \(j \in \pmb{J}_i\) の \(\pmb{J}_i\) とは、室 \(i\) に接する境界 \(j\) の集合を表す。

4 放射熱伝達率¶

室 \(i\) に接する境界 \(j\) の放射熱伝達率 \(h_{s,r,j}|_{j \in \pmb{J}_i}\) は、次式で表される。

\begin{align*} h_{s,r,j}|_{j \in \pmb{J}_i} = \frac{ \epsilon_{r,i,j} }{ 1 - \epsilon_{r,i,j} \cdot f_{j}} \cdot 4 \cdot \sigma \cdot (\theta_{mrt} + 273.15 )^{3} \tag{2} \end{align*}

ステファン・ボルツマン定数 \(\sigma\) は、 \(5.67 \times 10^{-8}\) W / m² K⁴である。

平均放射温度 \(\theta_{mrt}\) は、 \(20\) ℃ とする。

室 \(i\) の微小球から境界 \(j\) への形態係数 \(f_{j}|_{j \in \pmb{J}_i}\) は、\(\bar{f}_i\) を変数として、次式で表される。

\begin{align*} \begin{split} f_{j}|_{j \in \pmb{J}_i} &= f_{j}( \bar{f}_i|_{i=I_j} ) \\ &= \frac{1}{2} \Bigl\{ 1 - \mbox{sgn}(\left. 1 - 4 \cdot r_{a,j} \middle/ \bar{f}_i|_{i=I_j} \right.) \sqrt{ | \left. 1 - 4 \cdot r_{a,j} \middle/ \bar{f}_i|_{i=I_j} \right. | } \Bigr\} \end{split} \tag{3} \end{align*}

ここで、 \(\mbox{sgn}(x)\) は符号関数であり、 \(x>0\) で \(\mbox{sgn}(x)=1\) を、 \(x=0\) で \(\mbox{sgn}(x)=0\) を、 \(x<0\) で \(\mbox{sgn}(x)=-1\) をとる。

\(\bar{f}_i\) は、式(3)で定義される \(f_j(\bar{f}_i|_{i=I_j})\) を用いて、次式で表す非線形方程式 \(L(\bar{f}_i|_{i=I_j})=0\) を解くことで求まる。

\begin{align*} L(\bar{f}_i|_{i=I_j}) = \sum_{j \in \pmb{J}_i } f_{j}(\bar{f}_i|_{i=I_j}) - 1 = 0 \tag{4} \end{align*}

境界 \(j\) の面積の比 \(r_{a,j}\) は、次式で表される。

\begin{align*} r_{a,j} = \dfrac{ A_{s,j} }{ \sum\limits_{ j \in \pmb{J}_i } A_{s,j} } \tag{5} \end{align*}

ここで、 \(\pmb{J}_i\) は、室 \(i\) に接する境界 \(j\) の集合を表す。