I. 本評価における行列表記について

本評価では、何箇所かで2次元の行列計算を行っている。行列は太字で \(\pmb{a}\) のように表す。 \(\pmb{a}\) の要素は \(a_{i,j}\) であり、要素数 \(I \times J\) の場合、

\[\begin{split}\pmb{a} = \begin{pmatrix} a_{0,0} & \cdots & a_{0,j} & \cdots & a_{0,J-1} \\ \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ a_{i,0} & \cdots & a_{i,j} & \cdots & a_{i,J-1} \\ \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{I-1,0} & \cdots & a_{I-1,j} & \cdots & a_{I-1,J-1} \end{pmatrix}\end{split}\]

で定義される。

行方向（縦方向）を \(i\) とし、列方向（横方向）を \(j\) とし、その配列数をそれぞれ、 \(I\) 及び \(J\) だとすると、これを要素数 \(I \times J\) の行列と呼び、要素を \(a_{i,j}\) と記す。

多くの場合、室の数などを上限（ \(I\) とする）とする正方行列の場合が多く、その場合 \(I \times I\) の行列と呼ぶこともあるが、あくまで要素は、\(a_{i,j}\) であることに留意されたい。

また、縦方向に \(I\) 横方向に1の縦行列の場合も多く、その場合、

\[\begin{split}\pmb{a} = \begin{pmatrix} a_{0} \\ \vdots \\ a_{i} \\ \vdots \\ a_{I-1} \end{pmatrix}\end{split}\]

であり、これを要素数 \(I \times 1\) の行列と呼び、要素を \(a_i\) と記す。

記号説明をする場合において、以下のようなベクトルがあった場合に、

\begin{align*} \pmb{a} = \begin{pmatrix} a_{0} \\ \vdots \\ a_{i} \\ \vdots \\ a_{I-1} \end{pmatrix} \end{align*} \begin{align*} \pmb{b} = \begin{pmatrix} b_{0} & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & b_{i} & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \cdots & b_{I-1} \end{pmatrix} \end{align*} \begin{align*} \pmb{c} = \begin{pmatrix} c_{0,0} & \cdots & c_{0,j} & \cdots & c_{0,J-1} \\ \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ c_{i,0} & \cdots & c_{i,j} & \cdots & c_{i,J-1} \\ \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{I-1,0} & \cdots & c_{I-1,j} & \cdots & c_{I-1,J-1} \end{pmatrix} \end{align*}

表記を簡単にするためにそれぞれ、

\(\pmb{a}\)

\(a_i\) を要素にもつ \(I \times 1\) の縦行列

\(\pmb{b}\)

\(b_i\) を要素にもつ \(I \times I\) の対角化行列

\(\pmb{c}\)

\(c_{i,j}\) を要素にもつ \(I \times J\) の行列

と記す。